P（x,y）是椭圆x^2/25+x^2/16=1上一点且点P的纵坐标y不等于0

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/05 21:38:27
已知点A(-5，0)，B(5，0)，试判断K(pa)*K(pb)是否为定值。若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由。

设P(x,y)
三角代换
令x=5cosθ y=4sinθ

PA斜率kPA=(4sinθ)/(5cosθ+5)
PB斜率kPB=(4sinθ)/(5cosθ-5)
kPA*kPB
=(16/25)*(sinθ)^2/[(cosθ)^2-1]
=(16/25)*(sinθ)^2/[-(sinθ)]^2
=-16/25

一般结论
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1，长轴两端点A,B，求证直线PA与直线PB斜率之积为定值

A(-a,0) B(a,0)

设P(x,y)
三角代换
令x=acosθ y=bsinθ

PA斜率kPA=(bsinθ)/(acosθ+a)
PB斜率kPB=(bsinθ)/(acosθ-a)
kPA*kPB
=(b^2/a^2)*(sinθ)^2/[(cosθ)^2-1]
=(b^2/a^2)*(sinθ)^2/[-(sinθ)]^2
=-b^2/a^2

另解
设P(m,n)

P在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上
则m^2/a^2+n^2/b^2=1
n^2=(1-m^2/a^2)*b^2

PA斜率kPA=n/(m+a)
PB斜率kPB=n/(m-a)
kPA*kPB=n^2/(m^2-a^2)=[(1-m^2/a^2)b^2]/(m^2-a^2)=-b^2/a^2